\section{Ejercicion N 8}

Describir detalladamente el procedimiento a seguir para la búsqueda del costo total esperado mínimo en un problema de inventarios, de un solo ítem, demanda constante, agotamiento no admitido, para el caso de que el costo de orden se modifique, incrementándose, para determinados rangos de lote de adquisición. Considerar dos lotes de corte Q1 y Q2, tal que:

\begin{itemize}
  \item Para una cantidad a adquirir entre 0 y Q1, el costo de orden es k1.
  \item Para un lote comprendido entre Q1 y Q2, el costo de orden es k2.
  \item Para un lote mayor a Q2, el costo de orden es k3.

\end{itemize}

Graficar el CTE = f(q) para cada una de las alternativas que surgen del análisis.

\comandoResolucion

Analizando las expresiones de los costos totales para cada uno de los $k_i$:

$$CTE_i = b\por D + \frac{1}{2}\por q\por C1 \por T + k_i \por \frac{D}{q} $$

Podemos observar que a medida que incrementa el valor de $k_i$ se cumple que:

$$CTE_1 < \,CTE_2 < \, CTE_3$$

Asimismo, analizando las expresiones de los lotes óptimos:

$$q_{io} = \sqrt{\frac{2\por k_i\por D}{T\por C_1}}$$

Entonces, deducimos que a medida que se incrementa el valor de $k_i$ se cumple:

$$q_1o <\, q_2o <\, q_3o$$

Caso 1: se empieza viendo el valor $q_1o$. Si está en su rango de validez, es decir, es menor que Q1, entonces, hay que comprar 

$$q_{1o} = \sqrt{\frac{2\por k_1\por D}{T\por C_1}}$$

y el costo total esperado será:

$$CTE_0(q_1o, k_1) = b\por D + \sqrt{2\por k_1 \por D\por T\por C1}$$

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.5]{k-1-q10}
    \caption{$q_1o$ se encuentra en su rango.}
  \end{center}
\end{figure}


Caso contrario, $q_1o$ > Q1 entonces pasamos al caso 2.

Caso 2: $q_1o$ no está en su rango de validez (es decir, es mayor a Q1) pero $q_2o$ si, es decir, es menor que Q2. En esta situación, tenemos que comparar $CTE(Q_1,k_1)$ con $CTE_0(q_2o, k_2)$ y quedarse con el mínimo de ambos para determinar la cantidad a adquirir.

$$q_{2o} = \sqrt{\frac{2\por k_2\por D}{T\por C_1}}$$

$$CTE_0(q_2o, k_2) = b\por D + \sqrt{2\por k_2 \por D\por T\por C1}$$

$$CTE_0(Q1, k_1) = b \por D + \frac{1}{2}\por Q1\por C1 \por T + k_1 \por \frac{D}{q} $$

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.5]{k-2-Q1}
    \caption{$q_2o$ se encuentra en su rango y $CTE(Q1,k_1)$ es menor que $CTE(q_2o,k_2)$. Por lo tanto, conviene comprar  Q1}
  \end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.5]{k-2-q20}
    \caption{$q_2o$ se encuentra en su rango y $CTE(q_2o,k_2)$ es menor que $CTE(Q1,k_1)$. Por lo tanto, conviene comprar $q_2o$}
  \end{center}
\end{figure}

Si $q_2o \, > \, Q2$ entonces pasamos al caso 3.

Caso 3: tenemos que comparar $CTE(Q_1,k_1)$, $CTE(Q_2,k_2)$ y $CTE_0(q_3o, k_3)$ y quedarnos con el menor y a partir de eso, se determina la cantidad a adquirir.

$$q_{3o} = \sqrt{\frac{2\por k_3\por D}{T\por C_1}}$$

$$CTE_0(q_2o, k_2) = b\por D + \sqrt{2\por k_2 \por D\por T\por C1}$$

$$CTE_0(Q1, k_1) = b \por D + \frac{1}{2}\por Q1\por C1 \por T + k_1 \por \frac{D}{q} $$

$$CTE_0(Q2, k_2) = b \por D + \frac{1}{2}\por Q2\por C1 \por T + k_2 \por \frac{D}{q} $$

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.5]{k-3-q30}
    \caption{$q_3o$ se encuentra en su rango y $CTE(q_3o,k_3)$ es menor que $CTE(Q1,k_1)$ y $CTE(Q2,k_2)$. Por lo tanto, conviene comprar $q_3o$}
  \end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.5]{k-3-Q1}
    \caption{$q_3o$ se encuentra en su rango y $CTE(Q1,k_1)$ es menor que $CTE(q_3o,k_3)$ y $CTE(Q2,k_2)$. Por lo tanto, conviene comprar $Q1$}
  \end{center}
\end{figure}

\begin{figure}[H]
  \begin{center}
    \includegraphics[scale=0.5]{k-3-Q2}
    \caption{$q_3o$ se encuentra en su rango y $CTE(Q2,k_2)$ es menor que $CTE(q_3o,k_3)$ y $CTE(Q1,k_1)$ . Por lo tanto, conviene comprar $Q2$}
  \end{center}
\end{figure}
